Математические задачи
Пример с хитрецой
Дай ответ на простой арифметический пример.
Головоломка для пленника
К этой задаче прилагается красивая легенда. Однажды некий рыцарь попал в плен к султану Саладину. Ему предложили купить себе свободу. Но рыцарь был небогат, да и состоятельных родственников не имел. А выкуп просили немалый, аж 30 тысяч золотых монет.
Тогда он предложил султану сделку: «О могущественный Саладин, на моей родине пленнику дают шанс заслужить свободу не золотом, а умом. Заключенному предлагают решить головоломку. Если ему удается найти правильный ответ, его отпускают. Если же нет, сумму выкупа увеличивают вдвое».
Султану пошел на уступку, но задал рыцарю очень непростую задачку. Пленнику дали 12 монет, одинаковых с виду, и простые весы, без гирек. Задание: всего за три взвешивания найти среди 12 монет фальшивую, которая отличалась по весу. При том неизвестно, легче или тяжелее она, чем настоящие.
Что ж, эта задачка посложнее первого примера. Но мы верим, что тебе под силу решить и ее. Нужно только чуть дольше покопаться, и ответ не заставит себя ждать.
Ответы на задания
Сложность примера лишь в том, чтобы не запутаться в порядке выполнения действий. Все прекрасно знают, что деление и умножение нужно делать первыми. Но больше всего путаницы происходит на этапе, когда результаты деления и умножения нужно прибавить или отнять.
Так вот, сначала мы умножаем 1 на 0, получаем 0. Потом 2 делим на 2, получаем 1. А уже потом от 6 отнимаем 0 и прибавляем 1, ведь арифметический знак всегда относится к тому числу, перед которым он стоит. В результате получаем правильный ответ — 7.
Ответ на задачу со взвешиваниями
Что ж, приготовься, решение будет немного громоздким. Но самое главное, что оно есть. Ведь многие заходили в тупик, предполагая, что найти фальшивую монету за три взвешивания — просто невозможно. Но это не так.
Итак, первым делом разделим все монеты на три равные кучки, по 4 штуки. Кладем на весы две любые кучки. Если окажется, что они равны, нам очень повезло. Ведь тогда мы точно знаем, что фальшивая монета в оставшейся кучке. Взвешиваем на весах две любые монеты из оставшихся четырех.
Если снова равенство, значит у нас две настоящие. Оставляем одну из них на чаше, берем любую из оставшихся двоих, если снова равенство, значит фальшивая та, к которой мы не притрагивались. Если неравенство, то фальшивая та, которую мы доложили последней, ведь вместе с ней на весах мы точно оставили настоящую.
Если же при третьем взвешивании мы получаем неравенство, то две оставшиеся монеты из третьей кучки — настоящие. Заменяем одной из них любую монету на весах. Если получаем равенство, значит фальшивой была та, которую мы убрали. Если неравенство, значит фальшивка та, которую мы оставили на весах после второго взвешивания.
Теперь возвращаемся к первому взвешиванию. Если мы не такие везунчики, и в первый раз у нас получилось неравенство, значит в оставшейся третьей кучке все монеты настоящие. Для удобства теперь стоит пронумеровать все монетки. Пусть 1, 2, 3 и 4 — это монеты первой кучки, которая оказалась тяжелее при первом взвешивании. 5, 6, 7, 8 — монеты второй кучки, которая оказалась легче. Ну а 9, 10, 11, 12 — 100 % настоящие монеты из третьей кучки.
Ставим на одну чашу весов монеты под номером 1, 9, 10, 11, а на вторую, 2, 3, 4, и 5. Если получаем равно, значит фальшивка среди 6, 7 и 8. При этом мы знаем, что они из кучки, которая оказалась легче, значит и фальшивка легче. Взвешиваем любые две из них, если равенство, значит фальшивка третья, а если не равно, то фальшивая та, которая легче.
Если на втором взвешивании (монеты 1, 9, 10, 11, и 2, 3, 4, 5) оказалось, что первая кучка тяжелее, значит фальшивка либо 1 (тяжелее) либо 5 (легче). Тогда взвешиваем 1 с любой настоящей монетой, если она оказывается тяжелее, значит она фальшивка. Если нет, фальшивка 5.
И последний возможный вариант. Если на втором взвешивании (монеты 1, 9, 10, 11, и 2, 3, 4, 5) оказалось, что вторая кучка тяжелее, значит фальшивка тяжелее и кроется среди 2, 3 и 4. Взвешиваем любые две из них, если равенство, значит оставшаяся — фальшивка. Если неравенство, значит фальшивка та, что тяжелее.
Вот и всё, сложно, но возможно. Математические задачи часто бывают легкими на первый взгляд, но не такими уж простыми, когда начинаешь искать решение.
И всё же мы всё равно очень любим их решать. Ведь математика — царица наук. Ее законы непоколебимы, а значит в любой ситуации, которая контролируется ими, есть логическое решение.
